Factorización en números primos
Escribe un número entero para obtener su factorización en números primos en notación de exponentes, junto con todos los pasos del método de divisiones sucesivas.
Pasos de las divisiones sucesivas:
Cómo funciona el método de divisiones sucesivas
Divide el número entre el primo más pequeño que lo divida exactamente (2, luego 3, 5, 7, 11…) y repite la operación con el cociente hasta llegar a 1. Los divisores usados por el camino son los factores primos. Toma 360, por ejemplo: divide entre 2 tres veces (360 → 180 → 90 → 45), entre 3 dos veces (45 → 15 → 5) y entre 5 una vez, así que 360 = 2³ × 3² × 5.
Para qué sirve la factorización en primos
Es la base para encontrar el MCD y el mcm: el máximo común divisor sale de multiplicar los factores primos comunes con el exponente más pequeño, mientras que el mínimo común múltiplo toma los factores comunes y no comunes con el exponente más grande. También es así como se simplifican las fracciones y se cuentan los divisores de un número (suma 1 a cada exponente y multiplica). Curiosidad: la enorme dificultad de factorizar números gigantescos es lo que mantiene seguro el cifrado RSA, el que usan los bancos y las webs.
Por qué cada número tiene una sola descomposición
Es el teorema fundamental de la aritmética: todo número entero mayor que 1 se escribe como producto de números primos de una sola manera, salvo el orden. No es evidente y hay que demostrarlo, pero es la razón por la que la descomposición funciona como carné de identidad del número.
De ahí viene la utilidad práctica: dos números se comparan mirando sus factores en lugar de sus valores. El máximo común divisor toma los factores comunes con el exponente más pequeño, el mínimo común múltiplo todos los factores con el exponente más grande, y ninguna de las dos operaciones exige probar los divisores uno a uno.
Uno se para en la raíz cuadrada
Para saber si un número es primo no hace falta probar todos los divisores hasta él: basta llegar a su raíz cuadrada. Si un número tiene un divisor mayor que la raíz, tiene por fuerza también uno menor, y ese es el que se encuentra antes.
Por eso comprobar que 9.973 es primo requiere menos de veinticinco intentos y no diez mil: solo se prueban los primos hasta 99. En la descomposición el mismo principio dice cuándo parar: cuando el cociente restante es menor que el cuadrado del divisor en curso, ese cociente es primo.
El número fácil de multiplicar y difícil de romper
Multiplicar dos números primos grandes es instantáneo; recuperar los dos factores a partir del producto es dificilísimo, y nadie sabe hacerlo deprisa con números de cientos de cifras. Sobre esa asimetría se sostiene la criptografía RSA, es decir buena parte de la seguridad de internet.
Para los números pequeños, en cambio, la descomposición es inmediata y sirve todos los días: simplificar una fracción, encontrar el denominador común, ver si una raíz se puede sacar fuera. Es la misma herramienta a dos escalas completamente distintas.
Herramientas cercanas
Para el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo está Cálculo de MCD y mcm, y para reducir una fracción Simplificar fracciones. Si el número es grande, mira Números primos.