Sucesión de Fibonacci

Qué es

Una sucesión en la que cada número es la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Se empieza por dos unos y a partir de ahí no hace falta nada más. Aparece en un libro de 1202, el Liber Abaci de Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, dentro de un problema sobre la reproducción de los conejos, y se ha convertido en la sucesión más famosa de las matemáticas.

Los números son exactos, incluso los enormes

Los términos crecen deprisa: el 50º pasa de los doce mil millones, el 100º tiene veintiuna cifras. Por encima de cierto punto los números normales de un ordenador pierden las cifras finales sin decirlo, y el resultado parece correcto pero no lo es. Aquí se usan enteros de precisión arbitraria, así que incluso el término quinientos está escrito con todas sus cifras, sin redondear.

La proporción áurea sale sola

Dividiendo cada número entre el anterior se obtiene una sucesión que se acerca cada vez más a 1,6180339…, la proporción áurea: 5/3 = 1,666…, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 = 1,615… No es una coincidencia ni una propiedad mística: pasa con cualquier sucesión construida sumando los dos términos anteriores, sea cual sea la pareja de números de la que se parta.

Dónde está de verdad en la naturaleza, y dónde no

Está, y de forma comprobable, en la disposición de las hojas y de las semillas: las espirales de un girasol se cuentan casi siempre en parejas de números de Fibonacci (34 y 55, o 55 y 89), y lo mismo vale para las piñas y para las piñas tropicales. El motivo es geométrico: ese ángulo de giro es la forma más eficiente de colocar las semillas sin superponerlas.

No está, en cambio, en muchas de las cosas para las que se cita. La concha del nautilus es una espiral logarítmica pero no la áurea; el Partenón, la Gioconda y las tarjetas de crédito «con proporciones áureas» son en gran parte una invención del siglo XIX, repetida desde entonces. La sucesión es bastante interesante como para no necesitar leyendas.

Herramientas cercanas

Para el factorial, la otra sucesión que crece como una avalancha, está Factorial (n!). Para los números al azar Generador de números aleatorios, y para las expresiones con potencias y raíces Calculadora científica.