Sequenza di Fibonacci

Che cos'è

Una successione in cui ogni numero è la somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Si comincia da due uni e da lì non serve altro. Compare in un libro del 1202, il Liber Abaci di Leonardo Pisano detto Fibonacci, dentro un problema sulla riproduzione dei conigli, ed è diventata la successione più famosa della matematica.

I numeri sono esatti, anche quelli enormi

I termini crescono in fretta: il 50° supera i dodici miliardi, il 100° ha ventuno cifre. Sopra una certa soglia i numeri normali di un computer perdono le cifre finali senza dirlo, e il risultato sembra giusto ma non lo è. Qui si usano gli interi a precisione arbitraria, quindi anche il termine numero cinquecento è scritto con tutte le sue cifre, non arrotondato.

Il rapporto aureo esce da solo

Dividendo ogni numero per il precedente si ottiene una successione che si avvicina sempre di più a 1,6180339…, il rapporto aureo: 5/3 = 1,666…, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 = 1,615… Non è una coincidenza né una proprietà mistica: succede per qualunque successione costruita sommando i due termini precedenti, da qualsiasi coppia di numeri si parta.

Dove c'è davvero in natura, e dove no

C'è, e in modo verificabile, nella disposizione delle foglie e dei semi: le spirali di un girasole si contano quasi sempre in coppie di numeri di Fibonacci (34 e 55, o 55 e 89), e lo stesso vale per le pigne e per gli ananas. Il motivo è geometrico: quell'angolo di rotazione è il modo più efficiente di disporre i semi senza sovrapporli.

Non c'è, invece, in molte delle cose in cui viene citata. La conchiglia del nautilus è una spirale logaritmica ma non quella aurea; il Partenone, la Gioconda e le carte di credito «con le proporzioni auree» sono in gran parte un'invenzione dell'Ottocento, ripetuta da allora. La successione è abbastanza interessante da non aver bisogno di leggende.

Gli strumenti vicini

Per il fattoriale, l'altra successione che cresce a valanga, c'è Fattoriale (n!). Per i numeri casuali Generatore numeri casuali, e per le espressioni con potenze e radici Calcolatrice scientifica.