Calcolo del logaritmo

Che cos'è, detto senza formule

Il logaritmo risponde a una domanda sola: quante volte devo moltiplicare la base per sé stessa per arrivare a questo numero? Il logaritmo in base 10 di 1000 è 3, perché 10×10×10 fa 1000. Il logaritmo in base 2 di 1024 è 10, perché raddoppiando dieci volte da 1 si arriva a 1024. È l'operazione inversa dell'elevamento a potenza, esattamente come la divisione lo è della moltiplicazione.

Le tre basi che si incontrano

Base 10 è quella dei decibel, del pH e della scala Richter: sono tutte scale in cui salire di uno vuol dire moltiplicare per dieci, ed è per questo che un terremoto di magnitudo 6 non è «un po' più forte» di uno di magnitudo 5.

Base 2 è quella dell'informatica: dice quanti bit servono per distinguere un certo numero di casi (con 10 bit si contano 1024 valori) e quante volte si può dimezzare qualcosa. Base e ≈ 2,718 è il logaritmo naturale, quello che esce da solo in tutte le formule di crescita e di decadimento; per usarlo qui basta scrivere 2,718 nel campo della base.

A che cosa serve nella vita vera

Alla domanda «fra quanti anni raddoppia?». Un capitale che rende il 5% all'anno raddoppia in log(2) ÷ log(1,05) anni, cioè poco più di quattordici. Lo stesso conto vale per qualunque cosa cresca di una percentuale fissa: un abbonamento che rincara, un debito con gli interessi, il numero di iscritti a un canale.

Quando il logaritmo non esiste

Non esiste per lo zero e per i numeri negativi: nessun esponente può portare una base positiva a un numero negativo o a zero. E non esiste la base 1, perché uno moltiplicato per sé stesso fa sempre uno e non si arriva da nessuna parte. In tutti e tre i casi qui non compare nessun risultato, invece di mostrare un numero senza senso.

Gli strumenti vicini

L'operazione inversa è Calcolo di una potenza. Per le espressioni complete c'è Calcolatrice scientifica, e per vedere in quanti anni un capitale cresce davvero, tasse comprese, Interesse composto.